您可以看到，陀螺的對稱軸不但繞著垂直軸繞，還會有上上下下的類似點頭的動作。這些繞著垂直軸轉圈圈加上有規律的上下週期性震盪我們稱作陀螺的章動與進動。
一般玩具陀螺與我們這邊所說的陀螺有一個很大的不同的地方，玩具陀螺是底部與地面的接觸點並沒有固定住，他可以在地面上亂走。但是我們這邊所說的陀螺，是接觸地面的那個點必須固定住不動，通常一般市面上買的到的玩具陀螺都沒有辦法固定住底部接觸點，因此是看不到我們上面所說的運動的。因此通常得要買到陀螺儀等級的陀螺，才會有一個固定的接觸點，因此通常價格不斐，這也是為什麼大部分人不曉得或者可能沒看過上面所說的四種章動進動運動。要有一個固定的接觸點，又要能夠自由旋轉，是必須要有一些設計過的機械結構才有辦法做到。請參考我拍攝的實體陀螺儀章進動的影片。
從上圖讀者可以看到陀螺的對稱軸z軸的運動軌跡線很像擺線。擺線是一個圓在平面滾動時，圓上的一點繞著在等速直線運動的質心旋轉所產生的軌跡。陀螺的z軸軌跡線，也有類似的原理，不過還多一層轉動。陀螺的z軸會繞著角速度向量旋轉，這是可以理解的。不過，角速度向量又會繞著總角動量旋轉。兩次相對的旋轉，加上總角動量在一水平面上運動，就造就了對稱軸z軸的軌跡看起來像擺線一樣。讀者可以觀看這邊文章裡面的陀螺運動模擬動畫，裡面有劃出總角動量，角速度，以及z軸向量以及他們的軌跡線，觀察三個向量如何彼此繞行，然後產生z軸的軌跡線。[註:此也為body cone與space cone的概念。]
我高中時候就對這個章動進動運動很有興趣，那時我曾想以學到的重力力矩以及類似角動量守恆定理所產生的額外虛擬力來解釋陀螺的章動與進動，花了我好多時間，但是除了第四種正圓運動外，我無法解釋一到三種運動，也就是我無法解釋章動。這個問題困擾了我二十年。直到二十年後的今天，在一個偶然的機會，我用電腦去模擬了陀螺運動之後，我才真正了解了原因。讀者之中應該也會有人或學生跟我有一樣的疑問，因為這邊書上或高中教材都教得不好，甚至到大學都教的不夠詳細。
其實原因在於，我當初沒有正視陀螺與地面接觸的接觸點的接觸力。當時我以為接觸力通過圓點，因此產生的力矩都會消失，應該不必考慮。但事實上，並不能這樣單純低解釋。
以下就是我的陀螺模擬程式顯示出接觸力及重力的影片，用動畫的形式顯示出接觸力的大小及方向後，我才知道以前忘了正確的考慮接觸力，只要正確的考慮接觸力，同學也可以依照重力與接觸力，去考慮陀螺的質心運動與相對於質心的運動。
比如說下面模擬中，陀螺是一個立方體，立方體的一個頂點固定在接觸點上，與對角方向的頂點連線就是自轉軸，這自轉軸我們也訂為body z軸。陀螺的旋轉方向是朝著body z軸，依右手準則轉，右手大拇指朝body z軸，其餘四指指的方向就是轉動方向。當陀螺受重力力矩轉開一開始的body z軸，若是沒有地面，則沒有接觸力，這樣的話原本朝一開始的body z方向的角動量必須守恆，但是現在角動量減少，因此陀螺必須產生繞上一個body z的轉動去補足原本的角動量，所以相對於陀螺質心會有一個沿著垂直於空間的軸的水平轉動產生，相對於質心的水平轉動，這代表陀螺的底部接觸點也必須水平轉動。但是，現在有了地面，接觸點被固定了阿，也就是說地面會產生一個水平向的接觸力阻止陀螺的底部移動，此水平接觸力會作用在陀螺的接觸點上(作用在陀螺上)，方向朝向我們(也就是影片畫出的接觸力方向)，此水平接觸力會阻止陀螺的接觸點移動。不過這個水平接觸力同時對質心也會有作用，因此質心必須開始水平側向移動。這是陀螺倒下並開始側移的關鍵解釋。接下來同學可以依照同樣的方法，就可以解釋章動。
當然接觸點本身也是有提供正向力，可朝上或朝下。注意因為是固定，所以接觸點也無法離開地面喔，你會觀察到要完整的給出章動進動，作用在陀螺的接觸力在某些時候必須是朝下的，往下壓的!。以下的模擬是劃出接觸力正向力與水平力的合力，也就是陀螺接觸點的總受力。並且劃出接觸力向量於水平面的投影值(虛線)，以方便觀察接觸力的方向及大小變化。
Spining_cube_nutate_precess_with_contact_force_shown from KT Gump on Vimeo.
Original Video - More videos at TinyPic
A reminder for myself on improving video quality:
http://stackoverflow.com/questions/3561715/using-ffmpeg-to-encode-a-high-quality-video
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我整理的陀螺的應用理論，但並不是陀螺的運動原理證明，我整理的這份文件是關於一些生活上的東西有用到陀螺的相關原理，其中之一是手機裡面微機電陀螺儀在轉動姿態偵測的應用(須有大學線性代數或轉動矩陣基礎)，裡面也有詳述以上的陀螺模擬是怎麼做的。陀螺的運動原理證明在大學的大一大二普通力學教材都可以找到，不過就如同上面所說，講述的方式跟高中的內容似乎銜接得不好。因此這邊算是提供一個大學與高中在陀螺力學上的一個銜接橋梁。
http://whymranderson.blogspot.tw/p/innovative-materials.html
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舊的手稿
陀螺運動算是大學程度的理論，有興趣的高中生可能會想以力矩及向量來想像及構成陀螺的進動運動，但若要了解陀螺的章動(陀螺類似點頭的運動)及進動(陀螺繞垂直地面的軸的水平向運動)及章進動同時存在的狀況，必須要考慮接觸力。
我高中的時候就曾為了這個問題而廢寢忘食，好吧，沒那麼誇張，但是中文的完整的資料實在太少，應該說根本沒有，而高中又不是說會去看英文原文書，老師又無法在這方面解釋的足夠深入，或說無法滿足我想知道的，甚至到現在我查在這方面的中文的網路資料，都還是非常簡陋，想要簡化但是就變成會有錯誤，就連英文的資料，也不是整理的非常好。
有鑑於網路上不少學生提出此問題，如
http://www.douban.com/group/topic/44944835/及https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1331128410.A.44C.html，而且我以前也曾為這個問題困擾過許久，而我認為，經過恰當且耐心的解釋，程度好的高中生是可以稍微了解這個問題。我也在ntnu福坤老師架設的網站嘗試回答一些用力學來解釋陀螺的問題
http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=13646。這個問題的深度及廣度是教導學生知道大自然很多問題都不是像考試問題一樣，幾分鐘就可以解決，有些簡單的現象甚至是要幾年的累積才有辦法摸出個大概。因此這邊想要補足高中生想要求知陀螺問題的慾望的一個嘗試。
當然不是每個高中生都需要知道陀螺的原理及應用，(有興趣請見以下延伸閱讀: 陀螺儀與陀螺)，不過若是連教材或老師都認為陀螺是很簡單很古老沒有人在討論的東西，而沒有去提及他或他的應用，那麼學生也一樣會認為陀螺是個很無聊的東西，就不會倒而已，根本沒有應用。這樣是不太好的，這樣就真正與日常生活脫了節。陀螺原理及其應用應該算是屬於程度好的高中生的教材，適合做為進階資優輔導、實驗演示、物理競賽題目、科展專題、趣味物理、社團討論專題、等等的示範教材。我認為是一個作為高中與大學物理內容更完整的銜接橋梁。
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